המתמטיקאי האוסטרלי טייל באמצע העולם כדי למצוא ולבחון לוח חרס בן כמעט ארבעת אלפים שנה. עבודה כזו לא הייתה לשווא: הוא אישר חשדות, ומצא בה דוגמא לשימוש הקדום ביותר בגיאומטריה יישומית. בנוסף, לימוד החפץ הבבלי הזה עזר להבהיר את מטרתה של דוגמה נוספת, מעט צעירה יותר של תרבות עתיקה.
ד"ר דניאל פ. מנספילד מאוניברסיטת ניו סאות 'ויילס (UNSW, אוסטרליה) ועמיתיו לומדים חפצים עתיקים הקשורים למתמטיקה במשך שנים רבות. לדוגמה, בשנת 2017 הוא הצליח להרחיב את הבנתו את לוח החימר בשם פלימפטון 322. זהו סימון בבלי, שהוא טבלת מספרים, אך לא פשוטים, אלא שניים משלושת היסודות של מה שנקרא שלישיות פיתגורס. מנקודת המבט של האלגברה, אלו אוספים של שלושה מספרים טבעיים המספקים את המשוואה א2+ ב2= ג2 … ולגאומטריה, זהו הכלי החשוב ביותר: בעזרתם תוכלו ליצור משולשים זווית ישרה מושלמת.
למעשה, בין כל הפרשנויות של פלימפטון 322, הטריגונומטרי שרר מאז גילוי חפץ זה בשנת 1922. אבל הצוות של מנספילד סיפק את ההצדקה השלמה ביותר לתיאוריה זו. עם זאת, נותרו שאלות רבות: מדוע בכלל היו נחוצים טאבלטים כאלה, האם היו רבים מהם, או שמא היה פריט נדיר? מכיוון שהטריגונומטריה בפועל משמשת לרוב לניווט, או על ידי מודדים, או בונים, החיפוש אחר חפצים דומים אחרים נמשך בכיוון ספציפי למדי.
בלש ארכיאולוגי
לפני מספר שנים למד מנספילד על קיומו של הטאבלט Si.427, אך התמונות שמצא לא אפשרו לו ללמוד את האובייקט בפירוט. מציאת החפץ דרשה חקירה בלשית שלמה. הוא התגלה בסוף המאה ה -19 במרכז עיראק ונשלח למוזיאון הקיסרי של קונסטנטינופול. הבעיה היא שממסד כזה לא קיים זמן רב. לכן, המתמטיקאי נאלץ לדפוק הרבה ספים במשרד התרבות הטורקי ובמוזיאונים שונים כדי לברר לאן הלך אוסף המוצגים הישן.
למרבה המזל, בשנת 2018, תמונה של ה- Si.427 ירדה לכתובת הדוא"ל של מנספילד. במבט ראשון, חפץ חסר ייחוד נח בחשיפתו של אחד המוזיאונים בטורקיה במשך שנים רבות. לאחר העיכובים הביורוקרטיים המחייבים, הורשה המדען האוסטרלי לעבוד עם לוח החימר העתיק באופן אישי ולבחון אותו בפירוט.
המתמטיקאי היה ברשותו מסמך הקדאסל העתיק ביותר שידוע לאנושות. הלוח היה ייצוג גרפי של תהליך מדידת הקרקע, שבחלקו החליט הבעלים למכור. והנה מה שמעניין: על מנת לחלק את השטח במדויק, נעשה שימוש במשולשים בעלי זווית ישרה. יתר על כן, מחבר המסמך לא חישב את שלושת הפיתגורס הדרושים בכל פעם, אלא לקח את המוגמר. כנראה משולחן הדומה לפלימפטון 322.
גיליון בגידות בן כמעט ארבעת אלפים שנה
מנספילד הסיק מסקנות כאלה, שכן די קשה לחשב את צירופי המספרים האלה במסגרת מערכת המספרים המינית הבבלית. האם זה העשירייה הראשונה.אבל המחבר Si.427 לקח משולש באותו גודל כדי לבנות זווית ישרה ולהרחיב את הגבולות הישרים של האתר. ואז מאחד הגבולות הללו הוא הגדיל את המשולש המקורי - שלגביו יש צורך לחשב מחדש את שלושת הפיתגורס עם ערכים גדולים יותר. המודד צריך לבצע חישובים כאלה לעתים קרובות ובמהירות, כך שאולי אנשי המקצוע הזה בבבל היו מתמטיקאים מוסמכים ביותר, או שהיו להם דפי רמאות.
מתמטיקאי אוסטרלי חושף את הדוגמה הוותיקה ביותר בעולם לגיאומטריה יישומית
כפי שהציעו מנספילד ועמיתיו, פלימפטון 322, מתוארך מעט מאוחר יותר מה- Si.427, הוא לא יותר מאשר דוגמה לגיליון רמאים דומה. נראה מי בדיוק יצר אותם, אבל הרעיון שעובד שטח נושא איתו משוואות ריבועיות מחושבות מראש נראה הגיוני. בכל מקרה, גם אם מטרת לוח החימר עם טבלת המספרים מתגלה כשונה, מהותו של החפץ השני ידועה כמעט בוודאות. המדענים תיארו את מסקנותיהם בפירוט במאמר שפורסם בכתב העת Foundations of Science.
עדות למחלוקת קניין עתיקה
לוח החימר העגול Si.427 הוא אחד מתוך אוסף שלם של חפצים בבליים שנמצאו בערך באותו אזור, שהטקסט שלו קשור למחלוקת קרקע ספציפית. הוא קם בין תושב עיר בולט לבין בעל אדמות עשיר. כדי לפתור זאת, שלחה השלטון המקומי מודד לחלקה שבמחלוקת, שאמור היה לערוך מעין מלאי. תהליך זה מתועד ב- Si.427.
לפיכך, חפץ זה פועל כשניים מהאובייקטים העתיקים ביותר שידעה האנושות בבת אחת. זוהי הדוגמה המוקדמת ביותר לשימוש בגיאומטריה יישומית, כמו גם למסמך הקאדסטרלי הוותיק ביותר.
פרוטוטריגונומטריה
ד"ר מנספילד מכנה את ההישגים הגיאומטריים של הבבלים "פרוטריגונומטריה". לא בגלל שהוא רוצה לזלזל, להפך: הוא שמח על רמת ההתפתחות של המדע המתמטי בציוויליזציה הזו. יתר על כן, לא רק מדענים מאותה תקופה הכירו אותה, אלא גם עובדי מדינה שיישמו תפיסות טריגונומטריות מורכבות בפועל. אך בשל מגבלות מערכת המספרים שלהם, הם לא יכלו לפתח כיוון זה של המדע עוד יותר.
אבל טריגונומטריה מלאה נוצרה על ידי היוונים הקדמונים, שלמעשה באה לידי ביטוי בשמה של שלישיות פיתגורס. למרות ששילובי המספרים הללו עצמם היו ידועים הרבה לפני חייו של המתמטיקאי הגדול במאה השישית לפני הספירה.